Question

【題目】如圖,二次函數y=x2+2x+6的圖像與x軸相交于A、B兩點,與y軸交于點C,頂點為點D,該二次函數圖像的對稱軸與直線BC相交于點E,與x軸交于點F;

(1)求直線BC的解析式;

(2)試判斷△BFE與△DCE是否相似?并說明理由.

(3)在坐標軸上是否存在這樣的點P,使得以點P、B、C為頂點的三角形與△DCE相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由。

Answer 1

【答案】(1) y=-x+6．(2) △BFE與△DCE相似．理由見解析；（3）在坐標軸上存在這樣的點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△DCE相似，P點的坐標為（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．

【解析】

試題分析：（1）令x=0，可求得C點坐標，令y=0，可求得A、B點坐標，設出直線BC解析式，由待定系數法即可得出結論；

（2）觀察兩三角形可知，存在一個對頂角，只需再有一個角相等即可，由于DF⊥x軸，在△DCE中只要找到一個直角即可，結合邊的長度由勾股定理可得出結論；

（3）結合（2）的結論，只要找到以點P、B、C為頂點的三角形與△BFE相似即可，分BC為斜邊，直角邊討論即可．

試題解析：（1）令x=0，則有y=6，

∴C點坐標為（0，6）；

令y=0，則有-x2+2x+6=0，

解得：x1=-2，x2=6，

∴A點坐標為（-2，0），B點坐標為（6，0）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

則有，解得：．

∴直線BC的解析式為y=-x+6．

（2）假設△BFE與△DCE相似．

∵二次函數y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，

∴D點坐標為（2，8），直線DE解析式為x=2．

∵直線BC、DE相交于點E，

∴，解得，

即點E坐標為（2，4）．

∵點C（0，6），點D（2，8），

∴DE=4，CE=，CD=，

∴DE2=CE2+CD2，

∴∠DCE=90°．

又∵∠BFE=90°，且∠DEC=∠BEF，

∴△DCE∽△BEF．

（3）假設存在．

由（2）可知△DCE∽△BEF，

故只需找到以點P、B、C為頂點的三角形與△BEF相似即可．

①以BC為斜邊，如圖1．

此時P點與O點重合，故P點坐標為（0，0）；

②以BC為直角邊，點P在x軸上，如圖2．

∵點C（0，6），點B（6，0），

∴BO=6，CO=6，

∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=，

∴BP=，

∴P點坐標為（-6，0）；

③以BC為直角邊，點P在y軸上，如圖3．

CP=，

∴P點坐標為（0，-6）．

綜上可知：在坐標軸上存在這樣的點P，使得以點P、B、C為頂點的三角形與△DCE相似，P點的坐標為（0，0）、（-6，0）和（0，-6）．