Question

如圖，菱形ABCD和菱形AEFG開始時(shí)互相重合，現(xiàn)將菱形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BAE=α（0°＜α＜360°），則當(dāng)α=

60°或180°或300°

時(shí)，菱形的頂點(diǎn)F會(huì)落在菱形的對(duì)角線AC和BD所在的直線上．

Answer 1

分析：分別從當(dāng)點(diǎn)F在DB的延長線上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長線時(shí)，C，O，F(xiàn)共線，當(dāng)點(diǎn)F在BD的延長線時(shí)，去分析求解即可求得答案．

解答：解：如圖（1），當(dāng)點(diǎn)F在DB的延長線上時(shí)，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，
∴∠AOF=90°，
∵AF=AC，
∴OA=

1

2

AF，
即cos∠CAF=

1

2

，
∴∠CAF=60°；
即旋轉(zhuǎn)角為60°；
如圖（2），當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長線時(shí)，C，O，F(xiàn)共線，
即∠COF=180°，
∴旋轉(zhuǎn)角為180°；
如圖（3），當(dāng)點(diǎn)F在BD的延長線時(shí)，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，
∴∠AOF=90°，
∵AF=AC，
∴OA=

1

2

AF，
即cos∠CAF=

1

2

，
∴∠CAF=60°；
即旋轉(zhuǎn)角為：360°-60°=300°；
∴α=60°或180°或300°．
故答案為：60°或180°或300°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．