【題目】給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊形.

1)以下四邊形中,是勾股四邊形的為 .(填寫序號即可)

①矩形;②有一個角為直角的任意凸四邊形;③有一個角為60°的菱形.

2)如圖,將ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DBE,DCB=30°,連接AD,DC,CE

①求證:BCE是等邊三角形;

②求證:四邊形ABCD是勾股四邊形.

【答案】1①②;(2①證明見解析,②證明見解析

【解析】試題分析:1)由勾股四邊形的定義和特殊四邊形的性質(zhì),則可得出;
2①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ABC≌△DBE,從而可得BC=BE,由∠CBE=60°可得BCE為等邊三角形;②由①可得∠BCE=60°,從而可知DCE是直角三角形,再利用勾股定理即可解決問題.

試題解析:

1①如圖,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠B=90°

AB2+BC2=AC2,

即:矩形是勾股四邊形,

②如圖,

∵∠B=90°,

AB2+BC2=AC2,

即:由一個角為直角的四邊形是勾股四邊形,

③有一個角為60°的菱形,鄰邊邊中沒有直角,所以不滿足勾股四邊形的定義,

故答案為①②,

2①∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)了60°DBE

BC=BE,CBE=60°,

∵在BCE中,

BC=BE,CBE=60°

∴△BCE是等邊三角形.

②∵△BCE是等邊三角形,

BC=CE,BCE=60°

∵∠DCB=30°,

∴∠DCE=DCB+BCE=90°

RtDCE中,有DC2+CE2=DE2,

DE=ACBC=CE,

DC2+BC2=AC2

∴四邊形ABCD是勾股四邊形.

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