Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦ED分別交⊙O于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C的切線交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
（1）若PC=PF，求證：AB⊥ED；
（2）點(diǎn)D在劣弧AC的什么位置時(shí)，才能使AD²=DE•DF，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）作輔助線，連接OC．根據(jù)切線的性質(zhì)，OC⊥PC．根據(jù)PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．
在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED；
（2）根據(jù)AD²=DE•DF，可得：△FAD∽△AED，∠FAD=∠DEA．從而可知：=，即D在劣弧AC的中點(diǎn)．
解答：（1）證明：連接OC，∵PC為⊙O的切線，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

（2）解：D在劣弧AC的中點(diǎn)時(shí)，才能使AD²=DE•DF．
連接AE．若AD²=DE•DF，
可得：△FAD∽△AED，
∴∠FAD=∠DEA，
∴=．
即D為劣弧AC的中點(diǎn)時(shí)，能使AD²=DE•DF．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)的運(yùn)用．