Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)（其中點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由y=ax²-2ax+b可得拋物線對稱輛為x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依題意有：，
解得；
∴y=-x²+2x+3．

（2）存在．由C點(diǎn)（0，3）和x=1可得對稱點(diǎn)為P（2，3）；
設(shè)P₂（x，y），
∵CP₂²=（3-y）²+x²，DP₂²=（x-1）²+（4-y）²
∴（3-y）²+x²=（x-1）²+（4-y）²
將y=-x²+2x+3代入可得：，
∴；
∴P₂（，）．

（3）存在，且Q₁（1，0），Q₂（2-，0），Q₃（2+，0），Q₄（-，0），Q₅（，0）；
①若Q是直角頂點(diǎn)，由對稱性可直接得Q₁（1，0）；
②若N是直角頂點(diǎn)，且M、N在x軸上方時(shí)；
設(shè)Q₂（x，y）（x＜1），
∴MN=2Q₁O₂=2（1-x），
∵△Q₂MN為等腰直角三角形；
∴y=2（1-x）即-x²+2x+3=2（1-x）；
∵x＜1，
∴Q₂（，0）；
由對稱性可得Q₃（，0）；
③若N是直角頂點(diǎn)，且M、N在x軸下方時(shí)；
同理設(shè)Q₄（x，y），（x＜1）
∴Q₁Q₄=1-x，而Q₄N=2（Q₁Q₄），
∵y為負(fù)，
∴-y=2（1-x），
∴-（-x²+2x+3）=2（1-x），
∵x＜1，
∴x=-，
∴Q₄（，0）；
由對稱性可得Q₅（+2，0）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到它的對稱軸方程，進(jìn)而可根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)來確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，已知OC=3OA，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．
（2）顯然PC不可能與CD相等，因此要分兩種情況討論：
①CD=PD，根據(jù)拋物線的對稱性可知，C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)滿足P點(diǎn)的要求，坐標(biāo)易求得；
②PD=PC，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PC、PD的長，根據(jù)它們的等量關(guān)系列式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題要分三種情況討論：
①點(diǎn)Q是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)Q必為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，由此求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②M、N在x軸上方，且以N為直角頂點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可知MN正好等于拋物線對稱軸到N點(diǎn)距離的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，則QN=MN，由此可表示出點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到關(guān)于N點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線的對稱性知：Q關(guān)于拋物線的對稱點(diǎn)也符合題意；
③M、N在x軸下方，且以N為直角頂點(diǎn)時(shí)，方法同②．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，（2）（3）題都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此考慮問題一定要全面，以免漏解．