Question

如圖1，拋物線y=

4

5

x²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M，點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）．分別過點(diǎn)A、B作直線CP的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E，連接MD、ME．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）延長(zhǎng)DM交BE于點(diǎn)F，求證：ME=MF；
（3）如圖2，當(dāng)∠DME=90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）若將“點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）”改為“點(diǎn)P是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，∠DME能否為直角？若能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能夠，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得它們的值；然后根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）如圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△AMF≌△BME，得到點(diǎn)M為為Rt△EDF斜邊EF的中點(diǎn)，從而得到MD=ME，問題得證；
（3）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)是點(diǎn)M．如答圖2所示，設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，2）；其次利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（4）當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，解題思路與（3）完全相同．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，4）在拋物線y=

4

5

x²+bx+c上，
∴

4 5 +b+c=0 c=4

，
解得

b=- 24 5 c=4

，
則該函數(shù)解析式為：y=

4

5

x²-

24

5

x+4．
設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，則1×t=

4

4 5

，t=5．
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）．
綜上所述，拋物線的解析式為：y=

4

5

x²-

24

5

x+4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0）；

（2）∵AD⊥PC，BE⊥PC，
∴AD∥BE，
∴∠DAM=∠FBM．
在△DAM與△FBM中，

∠DAM=∠FBM AM=BM ∠DMA=∠FMB

，
∴△DAM≌△FBM（ASA），
∴MD=MF，即點(diǎn)M為Rt△EDF斜邊EF的中點(diǎn)，
∴MD=ME，
∴ME=MF；

（3）∵拋物線解析式為y=

4

5

x²-

24

5

x+4．
=

4

5

（x-3）²+

16

5

，
∴對(duì)稱軸是直線x=3，M（3，0）；
若∠DME=90°時(shí)，如圖2所示：
設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA．
在△ADM與△NEM中，

∠EMN=∠DMA EM=DM ∠ADM=∠NEM=135°

，
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA．
拋物線解析式為y=

4

5

x²-

24

5

x+4=

4

5

（x-3）²+

16

5

，故對(duì)稱軸是直線x=3，
∴M（3，0），MN=MA=2，
∴N（3，-2）．
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)N（3，-2），C（0，4）在直線上，
∴

3k+b=-2 b=4

，
解得k=-2，b=4，
∴y=-2x+4．
將y=2x-4代入拋物線解析式得：-2x+4=

4

5

x²-

24

5

x+4，
解得：x=0或x=-

7

2

，
當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；
當(dāng)x=-

7

2

時(shí)，y=-2x+4=3．
∴P（

7

2

，-3）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（

7

2

，-3）．

（4）能．
如圖3所示，設(shè)對(duì)稱軸與直線PC交于點(diǎn)N．
與（3）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M．
∵M(jìn)D⊥ME，MA⊥MN，
∴∠DMN=∠EMB．
在△DMN與△EMB中，

∠DMN=∠EMB MD=ME ∠MDN=∠MEB=45°

，
∴△DMN≌△EMB（ASA），
∴MN=MB．
∴N（3，-2）．
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)N（3，-2），C（0，4）在拋物線上，
∴

3k+b=-2 b=-4

，
解得

k= 2 3 b=4

，
∴y=

2

3

x-4．
將y=

2

3

x-4代入拋物線解析式得：

2

3

x-4=

4

5

x²-

24

5

x-4，
解得：x=0或x=

31

6

，
當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=

31

6

時(shí)，y=

2

3

x-4=-

5

9

．
∴P（

31

6

，-

5

9

）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（

31

6

，-

5

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形、解方程等知識(shí)點(diǎn)，題目難度較大．第（3）（4）問均為存在型問題，且解題思路完全相同，可以互相借鑒印證．