Question

如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)．在線段的垂直平分線上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到原點(diǎn)的距離？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，將拋物線沿其對(duì)稱軸平移，使拋物線與線段總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？向下最多可平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

Answer 1

（1）
（2）
（3）向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)解析:
（1）設(shè)拋物線解析式為，把代入得．
，
頂點(diǎn) （4分）
（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)，
由求得直線的解析式為，
它與軸的夾角為，設(shè)的中垂線交于，則．
則，點(diǎn)到的距離為．
又．（2分）
．
平方并整理得：
．
存在滿足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為．   （2分）
（3）由上求得．
①若拋物線向上平移，可設(shè)解析式為．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
或．
． （2分）
②若拋物線向下移，可設(shè)解析式為．
由，
有．
，．
向上最多可平移72個(gè)單位長(zhǎng)，向下最多可平移個(gè)單位長(zhǎng)．（2分）