Question

如圖，在直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：

（1）求點N的坐標（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式；當x為何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】相似形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出點N的坐標；

（2）由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，即可得出S的最大值；

（3）分兩種情況：①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；

②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，

作NP⊥OA于P，如圖1所示：

則NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴，

即，

解得：OP=x，PN=，

∴點N的坐標是（x，）；

（2）在△OMN中，OM=4﹣x，OM邊上的高PN=，

∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x²+x，

∴S與x之間的函數(shù)表達式為S=﹣x²+x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣（x﹣2）²+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

當x=2時，S有最大值，最大值是；

（3）存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分兩種情況：①若∠OMN=90°，如圖2所示：

則MN∥AB，

此時OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

即，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如圖3所示：

則∠ONM=∠OAB，

此時OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴，

即，

解得：x=；

綜上所述：x的值是2秒或秒．

【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形特征、直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計算、求二次函數(shù)的解析式以及最值等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（3）中，需要進行分類討論，通過證明三角形相似才能得出結(jié)果．