Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)O以1米/秒的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)PO兩點(diǎn)移動(dòng)t秒后（0＜t＜5）后，△POC的面積為S米²．
（1）AC=

 

 米；PC=

 

（用t的代數(shù)式表示）．
（2）求面積S與時(shí)間t的關(guān)系式．
（3）在PO兩點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，△POC能否與△ABC相似？若能，求出t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）運(yùn)用勾股定理求出AC，運(yùn)用PC=AC-AP求解．
（2）作PE⊥BC交BC于點(diǎn)E，運(yùn)用三角形的面積求出面積S與時(shí)間t的關(guān)系式．
（3）△POC與△ABC相似分兩種情況：①當(dāng)∠POC=90°時(shí)；②當(dāng)∠OPC=90°時(shí)；分別運(yùn)用三角形相似求出時(shí)間t．

解答：解（1）∵在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，
∴AC=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
∵動(dòng)點(diǎn)P以2米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)，
∴PC=10-2t．
故答案為：10，10-2t．
（2）如圖1，作PE⊥BC交BC于點(diǎn)E，

設(shè)PO兩點(diǎn)移動(dòng)t秒后（0＜t＜5），
∴CO=t，PC=10-2t，
∵sin∠ACB=

AB

AC

=

6

10

=

3

5

，
∴sin∠ACB=

PE

PC

=

PE

10-2t

=

3

5

，
∴PE=

3

5

（10-2t），
∴S=

1

2

OC•PE=

1

2

t•

3

5

（10-2t）=3t-

3

5

t²，
∴S=3t-

3

5

t²，
（3）如圖2，①當(dāng)∠POC=90°時(shí)，

設(shè)PO兩點(diǎn)移動(dòng)t秒后（0＜t＜5），
∴CO=t，PC=10-2t，
∵cos∠ACB=

BC

AC

=

8

10

=

4

5

，
∴cos∠ACB=

OC

PC

=

4

5

∴

t

10-2t

=

4

5

，解得t=

40

13

，
②如圖3，當(dāng)∠OPC=90°時(shí)，

設(shè)PO兩點(diǎn)移動(dòng)t秒后（0＜t＜5），
∴CO=t，PC=10-2t，
∵cos∠ACB=

BC

AC

=

8

10

=

4

5

，
∴cos∠ACB=

PC

OC

=

4

5

∴

10-2t

t

=

4

5

，解得t=

25

7

，
綜上所述△POC與△ABC相似時(shí)t=

40

13

或

25

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用三角形相似求出t，注意分兩種情況．