Question

【題目】已知等邊△ABC和點P，設(shè)點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h．

（1）若點P在一邊BC上，如圖①，此時h3＝0，求證：h1+h2+h3＝h；

（2）當(dāng)點P在△ABC內(nèi)，如圖②，以及點P在△ABC外，如圖③，這兩種情況時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請說出你的猜想，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點P在△ABC內(nèi)時成立，點P在△ABC外時不成立，理由見解析.

【解析】

(1)連接AP,將△ABC面積分成△ABP和△APC的面積,利用面積公式代入即可證明.

(2)連接AP、BP、CP,將△ABC的面積分裂成幾個小三角形的面積之和,代入面積公式計算即可.

（1）如圖1，連接AP，則 S△ABC＝S△ABP+S△APC

∴BCAM＝ABPD+ACPF

即BCh＝ABh1+ACh2

又∵△ABC是等邊三角形

∴BC＝AB＝AC，

∴h＝h1+h2；

（2）點P在△ABC內(nèi)時，h＝h1+h2+h3，理由如下：

如圖2，連接AP、BP、CP，則 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP

∴BCAM＝ABPD+ACPF+BCPE

即BCh＝ABh1+ACh2+BCh3

又∵△ABC是等邊三角形，

∴BC＝AB＝AC．

∴h＝h1+h2+h3；

點P在△ABC外時，h＝h1+h2﹣h3．

理由如下：如圖3，連接PB，PC，PA

由三角形的面積公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，

即BCAM＝ABPD+ACPE﹣BCPF，

∵AB＝BC＝AC，

∴h1+h2﹣h3＝h，

即h1+h2﹣h3＝h．