Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O是△ABC的內切圓，點D是斜邊AB的中點，則OD的長度是

 

．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：

分析：如圖連接OE、OF、OQ，設⊙O的半徑是r，由勾股定理求出AB=5，根據△ABC的內切圓，得到OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，推出四邊形CFOE是正方形，得到CE=CF=OF=OE，根據3-r+4-r=5求出r、AQ、OQ的長求出AD、DQ的長

解答：解：如圖連接OE、OF、OQ，設⊙O的半徑是r，
由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=5，
∵⊙O是三角形ABC的內切圓，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，OE=OF，AE=AQ，BF=BQ，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，
∴四邊形CFOE是正方形，
∴CE=CF=OF=OE，
∴3-r+4-r=5，
r=1，AQ=AE=3-1=2，OQ=1，
∵D是AB的中點，
∴AD=

5

2

，
∴DQ=AD-AQ=

1

2

，
∴OD²=OQ²+DQ²，
∴OD=

OQ2+DQ2

=

5

2

，
故答案為：

5

2

．

點評：本題主要考查對三角形的內切圓與內心，正方形的性質和判斷，解一元一次方程，勾股定理，切線長定理等知識點的理解和掌握，能求出OQ、DQ的長是解此題的關鍵．