Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AC⊥CD，將線段AD繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后交AC于點E，交BC于點F．

（1）若∠CAD＝30°，線段AD繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，且CE＝1，求AD；

（2）若∠CAD＝45°，線段AD繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，點M是線段DF上任意一點（M不與D重合），連接CM，將線段CM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，連接AN交射線DE于點P，點G、H分別是AD、DE的中點，求證：CD＝CE+2CP．

Answer 1

【答案】（1）AD＝4+2；（2）見解析.

【解析】

（1）由直角三角形的性質(zhì)可求AD＝（+1）HE，CD＝HE，AC＝HE，由CE＝AC﹣AE＝1，可求AD的長；

（2）如圖2，連接CH，CP，MN，通過證明∴△ACN≌△DCM，△DGH≌△HPC，可得∠CDM＝∠CAN＝15°，GH＝PC，即可求解．

解：（1）過點E作EH⊥AD，

∵線段AD繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，

∴∠ADE＝45°，且EH⊥AD，

∴∠HED＝∠HDE＝45°，

∴HE＝HD，

∵∠DAC＝30°，HE⊥AD，∠ACD＝90°，

∴AH＝HE，AE＝2HE，AD＝2CD，AC＝CD，

∴AD＝（+1）HE，

∴CD＝HE，AC＝HE，

∵CE＝AC﹣AE＝（﹣2）HE＝1

∴HE＝+1，

∴AD＝（）2＝4+2

（2）如圖2，連接CH，CP，MN，

∵線段AD繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°，

∴∠ADH＝30°

∵∠CAD＝45°，AC⊥CD，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝CD，∠CDH＝15°，

∵將線段CM繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段CN，

∴CM＝CN，∠MCN＝∠ACD＝90°，

∴∠MNC＝∠NMC＝45°，∠MCN﹣∠ACM＝∠ACD﹣∠ACM，

∴∠ACN＝∠DCM，且AC＝CD，CN＝CM，

∴△ACN≌△DCM（SAS）

∴∠CDM＝∠CAN＝15°，

∴∠APD＝180°﹣∠ADE﹣∠CAD﹣∠CAN＝180°﹣30°﹣45°﹣15°＝90°，

∴∠MPN＝∠MCN＝90°，

∴點M，點C，點N，點P四點共圓，

∴∠MPC＝∠MNC＝45°，

∵點 G，點H分別是AD，DE的中點，

∴AE＝2GH，AE∥GH，

∴∠DGH＝∠DAC＝45°，

∵∠ACD＝90°，點H是DE中點，

∴CH＝DH＝EH，

∴∠HCD＝∠HDC＝15°，

∴∠PHC＝30°，

∴∠PHC＝∠GDH＝30°，且CH＝DH，∠DGH＝∠HPC＝45°，

∴△DGH≌△HPC（AAS）

∴GH＝PC，

∴AE＝2GH＝2PC，

∴CD＝AC＝AE+CE＝CE+2CP．