Question

已知，如圖：點A（

3

，1）在反比例函數(shù)圖象上，將y軸繞點O順時針旋轉30°，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)交于點B，
求：（1）反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標及△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0），再把點A（

3

，1）代入求出k的值，進而可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）先求出直線OB的解析式，故可得出B點坐標，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D．則S_△AOB=S_△OBD+S_梯形ABDC-S_△AOC．

解答：解：（1）設反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∵點A（

3

，1）在反比例函數(shù)圖象上，
∴1=

k

3

，
解得，k=

3

，
則該反比例函數(shù)的解析式是：y=

3

x

；

（2）如圖，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥x軸于點D．設B（a，b）．
∵點A（

3

，1）
∴tan∠22=

3

3

，
∴∠2=30°．
又∠1=30°，
∴點A、B關于直線y=x對稱，
∴

a+ 3 2 = b+1 2 b= 3 a

，
解得，

a=1 b= 3

，則OD=1，BD=

3

．
∴S_△AOB=S_△OBD+S_梯形ABDC-S_△AOC=

1

2

OD•BD+

1

2

（AC+BD）•CD-

1

2

OC•AC=

1

2

×1×

3

+

1

2

×（1+

3

）×（

3

-1）-

1

2

×

3

×1=1．
綜上所述，B點的坐標是（1，

3

），△AOB的面積的面積是1．

點評：本題考查了坐標與圖形的變化--旋轉，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．求點B的坐標時，也可以利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點來解答．