Question

已知直徑AB、CD互相垂直，點M是上一動點，連AM、MC、MD．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，求證：為定值．

Answer 1

證明：（1）如圖1，連接AC、AD．
∵直徑AB、CD互相垂直，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴AC=AD=CD．
由托勒密定理得到MC•AD+MA•CD=AC•MD，即MC•CD+MA•CD=CD•MD，
∴MC+MA=MD
∴MD-MC=MA．

（2）如圖2，連接BC、BD．
∵直徑AB、CD互相垂直，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴BC=BD=CD．
由托勒密定理得到MD•BC+MC•BD=MB•CD，即MD+MC=MB，
∴MD²-MC²=（MD+MC）（MD-MC）
=AM•MB
=2AM•MB，
∴=2，即為定值．
分析：（1）如圖1，連接AC、AD．根據圖示知四邊形AMCD是圓內接四邊形，則由托勒密定理可以求得MC•AD+AM•CD=AC•MD．根據垂徑定理、勾股定理易求AC=AD=CD，將其代入可以求得結論；
（2）如圖2，連接BC、BD．則四邊形MCBD是圓內接四邊形，則由托密勒定理得到MD•BC+MC•BD=MB•CD根據垂徑定理、勾股定理易求BC=BD=CD，則MD+MC=MB，結合（1）得到MD²-MC²=（MD+MC）（MD-MC）=AM•MB=2AM•MB．
點評：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了垂徑定理，勾股定理，圓內接四邊形的性質．難度較大．