Question

已知直線y=-

3

4

x+6和雙曲線y=

x

k

（k＞0）在第一象限內(nèi)交于兩點(diǎn)A，B，
（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若△AOB的面積S為12，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）由于直線y=-

3

4

x+6與與雙曲線y=

x

k

在第一象限交于兩點(diǎn)A，B，則方程組

y=- 3 4 x+6 y= k x

有兩組解，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式的意義得到△＞0，解得k的范圍，根據(jù)反比例函數(shù)k＞0，于是得到k的取值范圍；
（2）設(shè)直線y=-

3

4

x+6與x，y軸分別交與點(diǎn)C，D，根據(jù)S_△AOB=S_△COD-S_△AOD-S_△BOC，可得出k的值．

解答：解：（1）∵直線y=-

3

4

x+6與與雙曲線y=

x

k

在第一象限交于兩點(diǎn)A，B，
∴A（

12-2 36-3k

3

，

36-3k

2

+3），B（

12+2 36-3k

3

，-

36-3k

2

+3），
∴方程組

y=- 3 4 x+6 y= k x

有兩組解，
∴關(guān)于x的一元二次方程3x²-24x+4k=0的判別式△=（-24）²-4•3•4k＞0，
解得k＜12，
∵k＞0，
∴k的取值范圍為0＜k＜12．
（2）設(shè)直線y=-

3

4

x+6與x，y軸分別交與點(diǎn)C，D，
∴C（8，0），D（0，6），
∵S_△AOB=S_△COD-S_△AOD-S_△BOC，
∴12=

1

2

×6×8-

1

2

×6×

12-2 36-3k

3

-

1

2

×8×（-

36-3k

2

+3），
整理得

36-3k

=3，
解得k=9．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．