Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸分別交于A、B點(diǎn)，AE平分，交軸于點(diǎn)E．

（1）直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）求直線AE的表達(dá)式．

（3）過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F，過點(diǎn)F分別作FD//OA交AB于點(diǎn)D，FC//AB交軸于點(diǎn)C，判斷四邊形ACFD的形狀并說明理由，求四邊形ACFD的面積．

Answer 1

【答案】（1）A(0,6)，B(8,0)；（2）y=2x+6；（3）四邊形ACFD是菱形，證明見解析；S四邊形ACFD=20

【解析】

（1）一次函數(shù)，令x=0求出y值，可得A點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，求出x值，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，此題得解；

（2）已知A，B點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理可求出AB的長度，再利用角平分線的性質(zhì)即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AE的表達(dá)式；

（3）過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F，過點(diǎn)F分別作FD//OA交AB于點(diǎn)D，FC//AB交軸于點(diǎn)C，連接CD交AF于點(diǎn)G，可得四邊形ACFD是平行四邊形，證明AD=DF，即可得到四邊形ACFD是菱形，證明△AOE∽△BFE，即可得到，，求得BF和EF，進(jìn)而求得四邊形ACFD的面積．

（1）∵

當(dāng)x=0時(shí)，y=6

∴A(0,6)

當(dāng)y=0時(shí)，

解得x=8

∴B(8,0)

∴A(0,6)，B(8,0)

（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB于D

∴OA=6，OB=8，

∴AB=

∵AE平分∠BAO，交x軸于點(diǎn)E

∴OE=ME

∴

∴

∴OE=BE

∵OE+BE=OB=8

∴OE=3，BE=5

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,0)

設(shè)直線AE的表達(dá)式為y=kx+b

將A(0,6)、E(3,0)代入y=kx+b

解得：

∴直線AE的表達(dá)式為y=2x+6

（3）過點(diǎn)B作BFAE于點(diǎn)F，過點(diǎn)F分別作FD//OA交AB于點(diǎn)D，FC//AB交軸于點(diǎn)C，連接CD交AF于點(diǎn)G

∵FD//OA，FC//AB

∴四邊形ACFD是平行四邊形

∴∠CAF=∠AFD

∵∠CAF=∠FAD

∴∠AFD=∠FAD

∴AD=DF

∴四邊形ACFD是菱形

∵∠AOE=∠BFE=90°，∠AEO=∠BEF

∴△AOE∽△BFE

∴

∵OE=3，OA=6

∴AE=

∴

∴BF=

∵四邊形ACFD是菱形

∴DG⊥AF，AG=GF

∴DG=BF=

∵

∴

∴EF=

∴AF=AE+EF=

S四邊形ACFD=AF×DG=

故答案為：四邊形ACFD是菱形，證明見解析；S四邊形ACFD=20