Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點B，點C和點B關于y軸對稱．
（1）求△ABC內切圓的半徑；
（2）過O、A兩點作⊙M，分別交直線AB、AC于點D、E，求證：AD+AE是定值，并求其值．

Answer 1

解：（1）∵直線AB的解解析式為：y=x+1，
∴A（0，1），B（-1，0），
∵點C和點B關于y軸對稱．
∴點C（1，0），
∴OA=OB=OC=1，
∵△ABC為Rt△，AB=AC=，BC=2，
∴r=，即內切圓的半徑為-1．

（2）連接OD，OE，DE．AE，

∵∠BAC=90°，
∴DE為直徑．∴∠DOE=90°．
又∵∠AOB=90°，∴∠DOB=∠AOE．
又∵∠OAE=∠OBD=45°，且OA=OB．
∴△AOE≌△BOD．故AE=BD．
∴AD+AE=AD+BD=AB=．
分析：（1）因為直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點B，點C和點B關于y軸對稱，所以分別令x=0，y=0，即可求出點A、B的坐標，由此即可求出OA=OB=OC=1，所以可判斷△ABC為Rt△，并且AB=AC=，BC=2，所以r=，代入相關數據即可求出內切圓的半徑r；
（2）因為過O、A兩點作⊙M，分別交直線AB、AC于點D、E，即O、A、D、E四點共圓，所以連接OD，OE、DE，因為∠BAC=90°，根據90度的圓周角對的弦是直徑可得DE為直徑，所以∠DOE=90度．又因∠AOB=90°，利用同角的余角相等可得∠DOB=∠AOE，因為∠OAE=∠OBD=45°，且OA=OB，可得△AOE≌△BOD，故AE=BD．所以AD+AE=AD+BD=AB=．
點評：本題需仔細分析題意，結合圖形，利用圓的性質、全等三角形的知識即可解決問題．