如圖,已知拋物線y=ax2-2ax+c與y軸交于點C,與x軸交于A、B兩點,點A的坐標是(-1,0),O是坐標原點,且OC=3OA.點E為線段BC上的動點(點E不與點B,C重合),以E為頂點作∠OEF=45°,射線ET交線段OB于點F.
(1)求出此拋物線函數(shù)表達式,并直接寫出直線BC的解析式;
(2)求證:∠BEF=∠COE;
(3)當△EOF為等腰三角形時,求此時點E的坐標;
(4)點P為拋物線的對稱軸與直線BC的交點,點M在x軸上,點N在拋物線上,是否存在以點A、M、N、P為頂點的平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)利用已知得出C點坐標,進而利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式;
(2)利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的外角知識得出∠BEF=∠COE;
(3)首先得出OE>OF即OE≠OF,再利用當OE=EF時,當OF=EF時分別得出即可;
(4)①AP為邊,此時P點縱坐標為2或-2,②AP為對角線,設M為(x,0)則N為(-x,-2)進而得出M點坐標.
解答:解:(1)∵點A的坐標是(-1,0),則AO=1,OC=3OA=3,
∴C為(0,-3)
∵拋物線過(-1,0)和(0,-3)
a+2a+c=0
c=-3
a=1
c=-3

∴此拋物線函數(shù)表達式為:y=x2-2x-3,
∵y=x2-2x-3=(x-3)(x+1),
∴B點坐標為:(3,0),
設BC直線解析式為:y=kx+b,
b=-3
3k+b=0
,
解得:
k=1
b=-3
,
直線BC的解析式:y=x-3;

(2)∵OB=OC=3
∴∠OCB=∠OBC=45°
又∵∠OEF+∠BEF=∠COE+∠OCB
且∠OEF=45°
∴∠BEF=∠COE;

(3)①∵∠OFE=∠BEF+∠OBC>45°
∴∠OFE>∠OEF
∴OE>OF即OE≠OF.
②當OE=EF時,
在△COE和△BEF中
∠BEF=∠COE
∠OCE=∠EBF
OE=EF
,
∴△COE≌△BEF(AAS),
∴BE=CO=3.
過E作ED⊥x軸于D.
∴ED=BD=BEcos45°=
3
2
2
,
∴OD=3-
3
2
2

∴E為(3-
3
2
2
,-
3
2
2
);
③當OF=EF時,則∠FOE=∠OEF=45°
∴∠OFE=90°.∴EF⊥OB.
∴E為BC的中點,∴E為(
3
2
,-
3
2
)


(4)對稱軸為x=1,
∴P為(1,-2).
①AP為邊,
此時P點縱坐標為2或-2,
令x2-2x-3=2
即x2-2x-5=0
∴x1=1+
6
,x2=1-
6
,
∴N為(1+
6
,2)或(1-
6
,2),
故M為(3+
6
,0)或(3-
6
,0),
令x2-2x-3=-2
即x2-2x-1=0,
∴x1=1+
2
,x2=1-
2
,
∴N為(1+
2
,2)或(1-
2
,2),
故M為(-1+
2
,0)或(-1-
2
,0),
②AP為對角線,
設M為(x,0)
則N為(-x,-2)
∴x2+2x-3=-2
x2+2x-1=0
∴x1=-1+
2
,x2=-1-
2

故M為(-1+
2
,0)或(-1-
2
,0),
綜上所述:M為(3+
6
,0)或(3-
6
,0)或(-1+
2
,0)或(-1-
2
,0).
點評:此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知識,利用分類討論思想得出是解題關鍵.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BC的函數(shù)解析式;
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(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式;
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(1)求此拋物線的解析式;
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-2<x<0
-2<x<0
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