Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=a（x-）2+與⊙M交于A，B，C，D四點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-2）．

（1）求a值及A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P（m，n）是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠CPD為銳角時(shí)，請(qǐng)求出m的取值范圍；

（3）點(diǎn)E是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，⊙M沿CD所在直線(xiàn)平移，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C′，D′，順次連接A，C′，D′，E四點(diǎn)，四邊形AC′D′E（只要考慮凸四邊形）的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)圓心M′的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），B（4，0）．（2）m＜0或1＜m＜4或m＞5．（3）存在．M′（，-2）

【解析】

(1)把點(diǎn)C坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可求出a,令y=0可得拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

(2)根據(jù)題意可知,當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠CPD為銳角,由此即可解決問(wèn)題.

(3)存在.如圖2中,將線(xiàn)段C'A平移至D'F,當(dāng)點(diǎn)D'與點(diǎn)H重合時(shí),四邊形AC'D'E的周長(zhǎng)最小,求出點(diǎn)H坐標(biāo)即可解決問(wèn)題.

解：（1）∵拋物線(xiàn)y=a（x-）2+經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2），

∴-2=a（0-）2+，

∴a=-，

∴y=-（x-）2+，

當(dāng)y=0時(shí)，-（x-）2+=0，

∴x1=4，x2=1，

∵A、B在x軸上，

∴A（1，0），B（4，0）．

（2）由（1）可知拋物線(xiàn)解析式為y=-（x-）2+，

∴C、D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=對(duì)稱(chēng)，

∵C（0，-2），

∴D（5，-2），

如圖1中，連接AD、AC、CD，則CD=5，

∵A（1，0），C（0，-2），D（5，-2），

∴AC=，AD=2，

∴AC2+AD2=CD2，

∴∠CAD=90°，

∴CD為⊙M的直徑，

∴當(dāng)點(diǎn)P在圓外部的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD為銳角，

∴m＜0或1＜m＜4或m＞5．

（3）存在．如圖2中，將線(xiàn)段C′A平移至D′F，則AF=C′D′=CD=5，

∵A（1，0），

∴F（6，0），

作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，

連接EE′正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，

∵拋物線(xiàn)頂點(diǎn)（，），直線(xiàn)CD為y=-2，

∴E′（，-），

連接E′F交直線(xiàn)CD于H，

∵AE，C′D′是定值，

∴AC′+ED′最小時(shí)，四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小，

∵AC′+D′E=FD′+D′E=FD′+E′D′≥E′F，

則當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)H重合時(shí)，四邊形AC′D′E的周長(zhǎng)最小，

設(shè)直線(xiàn)E′F的解析式為y=kx+b，

∵E′（，-），F（6，0），

∴可得y=x-，

當(dāng)y=-2時(shí)，x=，

∴H（，-2），∵M(jìn)（，-2），

∴DD′=5-=，

∵-=，

∴M′（，-2）