Question

【題目】如圖1，四邊形OABC中，OA=a，OC=5，BC=3,∠AOC=∠BCO=90°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l將四邊形分成兩部分，直線l與OC所成的角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處（如圖1）．

圖1 圖2 圖3

（1）若θ=45°，四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊后，點(diǎn)B落在點(diǎn)四邊形OABC的邊AB上 (如圖2) ，求a的值.

（2）若折疊后點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖3），求θ的值；

Answer 1

【答案】（1）8；（2）30°.

【解析】試題分析：（1）如圖1，運(yùn)用翻折變換的性質(zhì)得到OE=OC=5，DE=BC=3；證明AE=DE，問(wèn)題即可解決．

（2）如圖2，作輔助線，首先證明DM=DN，進(jìn)而證明∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，問(wèn)題即可解決．

試題解析：（1）如圖1，由題意得：

l⊥AB，OE=OC=5，DE=BC=3；

∠OED=∠C=90°；

∵∠AOF=45°，l⊥AB，

∴∠A=45°，∠ADE=90°-45°=45°，

∴∠A=∠ADE，

∴AE=DE=3，

∴OA=5+3=8，

即a的值為8．

（2）如圖2，連接MD并延長(zhǎng)，交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N；

∵BM∥AN，

∴△BMD∽△AND，

∴，而BD=AD，

∴MD=ND；

由題意得：∠ODM=∠C=90°，∠MOD=∠MOC=θ；

∴OD是線段MN的垂直平分線，

∴OM=ON，

∴OD平分∠MON，

∴∠AOD=∠DOM=∠MOC=θ，

∵∠AOC=90°，

∴θ=30°．