Question

在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC，垂足為D；BE⊥AC，垂足為E，AD交BE于F，連接CF．

（1）若∠BAC是銳角，如圖1，求證：△CDF是等腰直角三角形；
（2）若∠BAC是鈍角，如圖2，求證：△CDF是等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明BD=AD，可證明△BFD≌△ACD，則FD=CD，從而得出△CDF是等腰直角三角形；
（2）可證△BFD≌△ACD，則FD=CD，△CDF是等腰直角三角形．
解答：證明：（1）∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠BAD，
∴BD=AD，
∵BE⊥AC，垂足為E，
∴∠FBD+∠ACB=90°，
∵∠CAD+∠ACB=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BFD≌△ACD，
∴FD=CD，
∴△CDF是等腰直角三角形．

（2）同（1）可證△BFD≌△ACD，
∴FD=CD，
∴△CDF是等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定，注意全等的四種判定方法．