Question

已知點P是直線y=kx（k＞0）上一定點，點A是x軸上一動點（不與原點重合），連接PA，過點P作PB⊥PA，交y軸于點B，探究線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系．

（Ⅰ）如圖（1），當PA⊥x軸時，觀察圖形發(fā)現(xiàn)線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系是______；
（Ⅱ）當PA與x軸不垂直時，在圖（2）中畫出圖形，線段PA與PB 的數(shù)量關(guān)系是否與（Ⅰ）所得結(jié)果相同？寫出你的猜想并加以證明；
（Ⅲ）k為何值時，線段PA=PB？此時∠POA的度數(shù)是多少，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由PA⊥x軸，PB⊥PA，OB⊥OA，可得點P的坐標為（PB，PA），又由點P是直線y=kx（k＞0）上一定點，即可得PA=kPB；
（Ⅱ）首先過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，設(shè)P（x，kx），易證得Rt△APC∽Rt△BPD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易證得PA=kPB；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：PA=kPB，當k=1時，PA=PB，可證得Rt△APC≌Rt△BPD，則可得PC=PD，即可得直線y=kx（k=1）平分一、三象限的夾角，繼而求得∠POA的度數(shù)．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥x軸，PB⊥PA，OB⊥OA，
∴PB∥x軸，PA∥y軸，
∴點P的坐標為（PB，PA），
∵點P是直線y=kx（k＞0）上一定點，
∴PA=kPB．
故答案為：PA=kPB．

（Ⅱ）如圖2，過P作PC⊥x軸于C，PD⊥y軸于D，
則∠PDB=∠PCA=90°，
設(shè)P（x，kx），
∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD．
∴Rt△APC∽Rt△BPD，
∴．
∴=k，
∴PA=kPB．

（Ⅲ）當k=1時，PA=PB，此時∠POA=45°或∠POA=135°．
理由：由（Ⅱ）得：PA=kPB，
則當k=1時，PA=PB．
∵Rt△APC∽Rt△BPD，
∴Rt△APC≌Rt△BPD，
∴PC=PD，
即點P到x軸、y軸的距離相等，
∴直線y=kx（k=1）平分一、三象限的夾角．
∴∠POA=45°或∠POA=135°（如圖3）．
點評：此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．