Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的⊙O′交軸于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F．

（1）求OA、OC的長；

（2）求證：DF為⊙O′的切線；

（3）小明在解答本題時，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P，使△AOP也是等腰三角形，且點(diǎn)P一定在⊙O′外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

⑴在矩形OABC中，設(shè)OC=x  則OA= x+2，依題意得         

解得：（不合題意，舍去） 

∴OC=3，  OA=5                       ……………………2分

⑵連結(jié)O′D ，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=                    

∴ △OCE≌△ABE   ∴EA=EO    ∴∠1=∠2         

   在⊙O′中，∵ O′O= O′D     

∴∠1=∠3       ∴∠3=∠2      ∴O′D∥AE，

∵DF⊥AE        ∴ DF⊥O′D            ……………5分                           

又∵點(diǎn)D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑 ，

∴DF為⊙O′切線.                    …………………6分 

⑶不同意. 理由如下:

①當(dāng)AO=AP時，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P₁和P₄兩點(diǎn)

過P₁點(diǎn)作P₁H⊥OA于點(diǎn)H，P₁H = OC = 3，

∵A P₁= OA = 5         ∴A H = 4，

∴OH =1    求得點(diǎn)P₁（1，3）   

同理可得：P₄（9，3）               ………………………9分