Question

在平行四邊形ABCD中，E為BC上的一點，且AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC．
（1）求證：AE⊥DE．
（2）過A、D、E三點作圓交AB于F，連DF交AE于G，若，求tan∠AGF的值．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD+∠CDA=180°．
∵AE與DE分別平分∠BAD和∠ADC，
∴∠EAD=∠BAD，∠EDA=∠ADC，
∴∠EAD+∠EDA=（∠BAD+∠CDA）=90°，
∴∠AED=90°．
即AE⊥DE．

（2）解：設AB=CD=5k，AE=8k，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
∵AD∥CE，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD=5k．
同理AB=BE=5k，
∴AD=BC=10k，
又∵AE=8k，∠AED=90°，
∴DE=6k．
∵∠BAE=∠EAD，∠AFG=∠AED=90°，
∴△AFG∽△AED．
∴=，
即==，
∴tan∠AGF==．
分析：（1）因為平行四邊形的鄰角互補，有角平分線的性質(zhì)可得∠EAD和∠EDA的和是90°，所以能求出∠AED=90°，即AE⊥DE．
（2）由（1）知AD是圓的直徑，所以角AFF是90°，求tan∠AGF的值，可以轉(zhuǎn)化為求的值，此值可利用證相似三角形得到．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，常用的相似判定方法有：平行線，AA，SAS，SSS；常用到的性質(zhì)：對應角相等；對應邊的比值相等；面積比等于相似比的平方．