(2013•鞍山一模)在平行四邊形ABCD中,∠DAB=60°,點E是AD的中點,點O是AB邊上一點,且AO=AE,過點E作直線HF交DC于點H,交BA的延長線于F,以O(shè)E所在直線為對稱軸,△FEO經(jīng)軸對稱變換后得到△F′EO,直線EF′交直線DC于點M.
(1)求證:AD∥OF′;
(2)若M點在點H右側(cè),OA=4,求DH•DM的值.
分析:(1)根據(jù)等腰△AEO的性質(zhì)得到:∠1=∠2;由對稱變換得到∠2=∠3,則內(nèi)錯角∠1=∠3.故AD∥OF′;
(2)根據(jù)“兩角法”證得△EDH∽△MDE,則該相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即
DH
DE
=
DE
DM
,所以DH•DM=DE2=42=16.
解答:(1)證明:如圖,∵AO=AE,
∴∠1=∠2.
又∵以O(shè)E所在直線為對稱軸,△FEO經(jīng)軸對稱變換后得到△F′EO,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴AD∥OF′;

(2)解:如圖,∵點E是AD的中點,AO=AE,OA=4,
∴DE=AE=OA=4.
∵在?ABCD中,DC∥AB,
∴∠5=∠F.
∵由(1)知,AD∥OF′,
∴∠DEM=∠4.
又∵∠4=∠F,
∴∠5=∠DEM,
又∵∠EDH=∠MDE,
∴△EDH∽△MDE,
DH
DE
=
DE
DM
,即DH•DM=DE2=42=16.
∴DH•DM的值是16.
點評:本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì).此題難度較大,在證明三角形相似時,一定要找準(zhǔn)對應(yīng)角和對應(yīng)邊.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•鞍山一模)李老師從“淋浴龍頭”受到啟發(fā),編了一個題目:在數(shù)軸上截取從0到3的對應(yīng)線段AB,實數(shù)m對應(yīng)AB上的點M,如圖1;將AB折成正三角形,使點A,B重合于點P,如圖2;建立平面直角坐標(biāo)系,平移此三角形,使它關(guān)于y軸對稱,且點P的坐標(biāo)為(0,2),PM與x軸交于點N(n,0),如圖3.當(dāng)m=
3
時,n=
4-2
3
4-2
3

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(2013•鞍山一模)如圖1,AB為⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,∠BAC=30°,點D是AC邊上一點,BC=DC,以DC為一邊作等邊三角形DCE.
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(2013•鞍山一模)尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡)
(1)如圖1,△ABC是等邊三角形,過點A作出BC邊上的高;
(2)如圖2,△ABC為任意三角形,過點B作BD⊥AC于點D;
(3)如圖3,現(xiàn)在有一塊直角三角形鋼板,∠ABC=90°,AC=10,AB=6,工人師傅想用它裁出面積最大的△ABP,且∠APB=60°,請在圖中畫出符合要求的點P(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡)并求出的面積.

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(2013•鞍山一模)如圖,在平面直角著坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=
3
x+3
3
的圖象與x軸交與點A,與y軸交與點B,點C為x軸上一點,且滿足AB=BC.
(1)求點C的點坐標(biāo).
(2)若點P是線段BC延長線上一動點,連接AP,作線段AP的垂直平分線,交AP于點D,交y軸于點E,連接EA,EP,EC,EC交AP于點F.
①點P在移動過程中,∠AEP的角度是否發(fā)生變化?為什么?
②若S△AEF-S△CFP=2
3
,求直線AP的解析式.

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