Question

由于2013年第30號(hào)強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“海燕”的侵襲，致使多個(gè)城市受到影響．如圖所示，A市位于臺(tái)風(fēng)中心M北偏東15°的方向上，距離千米，B市位于臺(tái)風(fēng)中心M正東方向千米處．臺(tái)風(fēng)中心以每小時(shí)30千米的速度沿MF向北偏東60°的方向移動(dòng)（假設(shè)臺(tái)風(fēng)在移動(dòng)的過(guò)程中的風(fēng)速保持不變），距離臺(tái)風(fēng)中心60千米的圓形區(qū)域內(nèi)均會(huì)受到此次強(qiáng)烈臺(tái)風(fēng)的影響．
（1）A市、B市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的影響？說(shuō)明理由．
（2）如果受到此次臺(tái)風(fēng)影響，該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的持續(xù)時(shí)間為多少小時(shí)？

Answer 1

解：（1）設(shè)臺(tái)風(fēng)中心運(yùn)行的路線(xiàn)為射線(xiàn)MN，于是∠AMN=60°-15°=45°．
過(guò)A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形．
∵AM=61，∠AMH=60°-15°=45°，
∴AH=AM•sin45°=61＞60．
∴A市不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響；
過(guò)B作BH₁⊥MN于H₁．
∵M(jìn)B=60，∠BMN=90°-60°=30°，
∴BH₁=×60＜60，
因此B市會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響．

（2）以B為圓心60千米為半徑作圓與MN交于T₁、T₂，則BT₁=BT₂=60．
在Rt△BT₁H₁中，sin∠BT₁H₁=，
∴∠BT₁H₁=60°．
∴△BT₁T₂是等邊三角形．
∴T₁T₂=60．
∴臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)線(xiàn)段T₁T₂上所用的時(shí)間=2（小時(shí)）．
因此B市受到臺(tái)風(fēng)侵襲的時(shí)間為2小時(shí)．
分析：（1）過(guò)A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形，可求出AM，則可以判斷A市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的侵襲．
同理，過(guò)B作BH₁⊥MN于H₁，求出BH₁，可以判斷B市是否會(huì)受到此次臺(tái)風(fēng)的侵襲．
（2）求該城市受到臺(tái)風(fēng)侵襲的持續(xù)時(shí)間，以B為圓心60為半徑作圓與MN交于T₁、T₂，則T₁T₂就是臺(tái)風(fēng)影響時(shí)經(jīng)過(guò)的路徑，求出后除以臺(tái)風(fēng)的速度就是時(shí)間．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了方向角問(wèn)題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系，解一般三角形的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線(xiàn)．