Question

【題目】已知：如圖①，將∠D＝60°的菱形ABCD沿對角線AC剪開，將△ADC沿射線DC方向平移，得到△BCE，點M為邊BC上一點(點M不與點B、點C重合)，將射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，與EB的延長線交于點N，連接MN．

(1)①求證：∠ANB＝∠AMC；

②探究△AMN的形狀；

(2)如圖②，若菱形ABCD變?yōu)檎�方�?/span>ABCD，將射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，原題其他條件不變，(1)中的①、②兩個結論是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請寫出變化后的結論并證明．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②△AMN是等邊三角形，理由見解析；(2)見解析.

【解析】

(1)①先由菱形可知四邊相等,再由∠D=60°得等邊△ADC和等邊△ABC,則對角線AC與四邊都相等,利用ASA證明△ANB≌△AMC,得結論;

②根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出:△AMN是等邊三角形

(2)①成立,根據(jù)正方形得45°角和射線AM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,證明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC;

②不成立,△AMN是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式進行變形后,再證明△NAM∽△BAD,則△AMN是等腰直角三角形

(1)如圖1，①∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∵∠D＝60°，

∴△ADC和△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵∠NAM＝60°，

∴∠NAB＝∠CAM，

由△ADC沿射線DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE＝60°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABN＝60°，

∴∠ABN＝∠ACB＝60°，

∴△ANB≌△AMC，

∴∠ANB＝∠AMC；

②如圖1，△AMN是等邊三角形，理由是：

由∴△ANB≌△AMC，

∴AM＝AN，

∵∠NAM＝60°，

∴△AMN是等邊三角形；

(2)①如圖2，∠ANB＝∠AMC成立，理由是：

在正方形ABCD中，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝45°，

∵∠NAM＝45°，

∴∠NAB＝∠MAC，

由平移得：∠EBC＝∠CAD＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABN＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

∴∠ABN＝∠ACM＝45°，

∴△ANB∽△AMC，

∴∠ANB＝∠AMC；

②如圖2，不成立，

△AMN是等腰直角三角形，理由是：

∵△ANB∽△AMC，

∴ ，

∴ ，

∵∠NAM＝∠BAC＝45°，

∴△NAM∽△BAC，

∴∠ANM＝∠ABC＝90°，

∴△AMN是等腰直角三角形．