Question

【題目】如果一條拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸有兩個交點(diǎn)，那么以拋物線的頂點(diǎn)和這兩個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”，［a，b，c］稱為“拋物線系數(shù)”．

（1）任意拋物線都有“拋物線三角形”是______（填“真”或“假”）命題；

（2）若一條拋物線系數(shù)為［1，0，－2］，則其“拋物線三角形”的面積為________；

（3）若一條拋物線系數(shù)為［－1，2b，0］，其“拋物線三角形”是個直角三角形，求該拋物線的解析式；

（4）在（3）的前提下，該拋物線的頂點(diǎn)為A，與x軸交于O，B兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，使得△BPQ∽△OAB，如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．

【解析】（1）當(dāng)△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，由此可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到，由此可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)“拋物線三角形”定義得到y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（2b，0）；

當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形，

由拋物線頂點(diǎn)為（b，b2），以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，解方程即可得到結(jié)論；

（4）分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x 時，②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x 時．

（1）當(dāng)△＞0時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，此時拋物線才有“拋物線三角形”，故此命題為假命題；

（2）由題意得：，令y=0，得：x=，∴ S==；

（3）依題意：y＝－x2＋2bx，它與x軸交于點(diǎn)（0，0）和（2b，0）；

當(dāng)拋物線三角形是直角三角形時，根據(jù)對稱性可知它一定是等腰直角三角形．

∵y＝－x2＋2bx=，∴頂點(diǎn)為（b，b2），由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，

∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．

（4）①當(dāng)拋物線為y＝－x2＋2x 時．

∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），

則｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．

∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．

②當(dāng)拋物線為y＝－x2－2x 時．

∵△AOB為等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，

∴△BPQ為等腰直角三角形，設(shè)P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），

則｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．

∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．

綜上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．