【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB3AD4P沿射線BD運動,連接AP,將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PQ

(1)當(dāng)點Q落到AD上時,∠PAB____°,PA_____,長為_____;

(2)當(dāng)APBD時,記此時點PP0,點QQ0,移動點P的位置,求∠QQ0D的大小;

(3)在點P運動中,當(dāng)以點Q為圓心,BP為半徑的圓與直線BD相切時,求BP的長度;

(4)P在線段BD上,由BD運動過程(包含BD兩點)中,求CQ的取值范圍,直接寫出結(jié)果.

【答案】(1)45,π;(2)滿足條件的∠QQ0D45°135°(3)BP的長為;(4)≤CQ≤7.

【解析】

(1)由已知,可知△APQ為等腰直角三角形,可得∠PAB,再利用三角形相似可得PA,及弧AQ的長度;

(2)分點QBD上方和下方的情況討論求解即可.

(3)分別討論點QBD上方和下方的情況,利用切線性質(zhì),在由(2)BP0表示BP,由射影定理計算即可;

(4)(2)可知,點Q在過點Qo,且與BD夾角為45°的線段EF上運動,有圖形可知,當(dāng)點Q運動到點E時,CQ最長為7,再由垂線段最短,應(yīng)用面積法求CQ最小值.

解:(1)如圖,過點PPE⊥AD于點E

由已知,APPQ,∠APQ90°

∴△APQ為等腰直角三角形

∴∠PAQ∠PAB45°

設(shè)PEx,則AEx,DE4x

∵PE∥AB

∴△DEP∽△DAB

=

=

解得x

∴PAPE

AQ的長為π

故答案為:45,,π

(2)如圖,過點QQF⊥BD于點F

∠APQ90°,

∴∠APP0+∠QPD90°

∵∠P0AP+∠APP090°

∴∠QPD∠P0AP

∵APPQ

∴△APP0≌△PQF

∴AP0PF,P0PQF

∵AP0P0Q0

∴Q0DP0P

∴QFFQ0

∴∠QQ0D45°

當(dāng)點QBD的右下方時,同理可得∠PQ0Q45°,

此時∠QQ0D135°

綜上所述,滿足條件的∠QQ0D45°135°

(3)如圖當(dāng)點Q直線BD上方,當(dāng)以點Q為圓心,BP為半徑的圓與直線BD相切時

過點QQF⊥BD于點F,則QFBP

(2)可知,PP0BP

∴BP0BP

∵AB3,AD4

∴BD5

∵△ABP0∽△DBA

∴AB2BP0BD

∴9BP×5

∴BP

同理,當(dāng)點Q位于BD下方時,可求得BP

BP的長為

(4)(2)可知∠QQ0D45°

則如圖,點Q在過點Q0,且與BD夾角為45°的線段EF上運動,

當(dāng)點P與點B重合時,點Q與點F重合,此時,CF431

當(dāng)點P與點D重合時,點Q與點E重合,此時,CE4+37

∴EF==5

過點CCH⊥EF于點H

由面積法可知

CH==

∴CQ的取值范圍為:≤CQ≤7

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(2)若購買甲種圖書的數(shù)量要不少于乙種圖書的數(shù)量的,購買兩種圖書的總費用為元,求出最少總費用.

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(1)這次統(tǒng)計共抽查了_____名學(xué)生,最喜歡用電話溝通的所對應(yīng)扇形的圓心角是____°;

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)運用這次的調(diào)查結(jié)果估計1200名學(xué)生中最喜歡用QQ進行溝通的學(xué)生有多少名?

(4)甲、乙兩名同學(xué)從微信,QQ,電話三種溝通方式中隨機選了一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲乙兩名同學(xué)恰好選中同一種溝通方式的概率.

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ABO的直徑,則∠APB   °;

O的半徑是1,AB,求∠APB的度數(shù);

2)已知O2O1外一點,以O2為圓心作一個圓與O1相交于A、B兩點,∠APBO1上關(guān)于點AB的滑動角,直線PAPB分別交O2M、N(點M與點A、點N與點B均不重合),連接AN,試探索∠APB與∠MAN、∠ANB之間的數(shù)量關(guān)系.

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求證:四邊形ACBD是菱形;

若已知拋物線C2y=(x22+4,請求出m的值.

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