Question

如圖1，△ABC中，AB=AC=6，點D為邊BC上一點，且BD=5，CD=4
（I）求證：∠ADB=2∠B；
（2）如圖2，將△ABD沿AD翻折得到△AB′D，連接CB′，求CB′的長，

Answer 1

（1）證明：如圖1．
∵BD=5，CD=4，
∴BC=9，
又∵AB=AC=6，
∴==，
而∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴AD=DC，
∴∠C=∠CAD，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C，
而AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ADB=2∠B；

（2）解：如圖2．
∵AB=AC，
∴∠ACD=∠B，
∵將△ABD沿AD翻折得到△AB′D，
∴∠B=∠AB′D，
∴∠ACD=∠AB′D，
∴∠B′AC=∠B′DC=x．
在△AB′C中，B′C²=AC²﹢AB′²-2AC•AB′cosx=36﹢36-72cosx=72-72cosx，
在△DB′C中，B′C²=DC²﹢DB′²-2DC•DB′cosx=16﹢25-40cosx=41-40cosx，
∴72-72cosx=41-40cosx，
∴cosx=，
∴B′C²=41-40×=，
∴CB′=．
分析：（1）先由“兩邊及夾角法”證得△CAD∽△CBA，則該相似三角形的對應邊成比例：=，再結合已知條件得到AD=DC，所以∠C=∠CAD，然后根據(jù)三角形外角的性質得出∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=2∠B，即∠ADB=2∠B；
（2）先由等腰三角形及折疊的性質得出∠ACD=∠AB′D，根據(jù)三角形內角和定理得到∠B′AC=∠B′DC=x．然后在△AB′C與△DB′C中，利用余弦定理得出B′C2=72-72cosx，B′C2=41-40cosx，解方程即可求解．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形內角和定理及外角的性質，等腰三角形、軸對稱的性質，余弦定理等知識，綜合性較強，有一定難度．