Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．動(dòng)點(diǎn)P以6cm/s的速度在矩形ABCD的邊上沿A→D的方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在矩形ABCD的邊上沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，△PDQ的面積為S(cm2)，S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．

（1）AB＝　 　cm，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為　 　cm/s；

（2）在點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)O也從CD的中點(diǎn)出發(fā)，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分線向左勻速運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)O為圓心的⊙O始終與邊AD、BC相切，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止．

①當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，求t的值；

②當(dāng)PQ與⊙O有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a，則由圖②可看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5s時(shí)，△PDQ有最大面積450，即此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B處，可列出關(guān)于a的方程，即可求出點(diǎn)Q的速度，進(jìn)一步求出AB的長(zhǎng)；

（2）①如圖1，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F，當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，用含t的代數(shù)式分別表示出OF，QC的長(zhǎng)，由OF＝QC可求出t的值；

②設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F，⊙O與AD，BC的切點(diǎn)分別為N，G，過點(diǎn)Q作QH⊥AD于H，如圖2﹣1，當(dāng)⊙O第一次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，證△QHP是等腰直角三角形，分別用含t的代數(shù)式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如圖2﹣2，當(dāng)⊙O第二次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，可求出t的值，即可寫出t的取值范圍．

（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為a，

則由圖②可看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5s時(shí)，△PDQ有最大面積450，即此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B處，

∵AP＝6t，

∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450，

∴a＝6，

∴AB＝5a＝30，

故答案為：30，6；

（2）①如圖1，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F，當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，

QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，

∵OF∥QC且點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，

∴OF＝QC，

即4t＝ (90﹣6t)，

解得，t＝；

②設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F，⊙O與AD，BC的切點(diǎn)分別為N，G，過點(diǎn)Q作QH⊥AD于H，

如圖2﹣1，當(dāng)⊙O第一次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，

∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，

∵QP＝QH，

∴150﹣20t＝30，

∴t＝；

如圖2﹣2，當(dāng)⊙O第二次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，

PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，

∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，

∵QP＝QH，

∴20t﹣150＝30，

∴t＝，

綜上所述，當(dāng)PQ與⊙O有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為：≤t≤．