Question

【題目】我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關系呢？
（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關系？為什么？
（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，若∠1+∠2=230°，則剪掉的∠C=；
（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關系？請直接寫出答案 ．
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）解：∠DBC+∠ECB

=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB

=360°﹣（∠ABC+∠ACB）

=360°﹣（180°﹣∠A）

=180°+∠A；

（2）50°
（3）∠P=90°﹣ ∠A
（4）解：延長BA、CD于Q，

則∠P=90°﹣ ∠Q，

∴∠Q=180°﹣2∠P，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，

=180°+180°﹣2∠P，

=360°﹣2∠P．

【解析】（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C， ∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠C=50°；
3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠DBC+∠ECB）= （180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°﹣ （180°+∠A）=90°﹣ ∠A；
即∠P=90°﹣ ∠A；
所以答案是：50°，∠P=90°﹣ ∠A；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的內(nèi)角和外角的相關知識，掌握三角形的三個內(nèi)角中，只可能有一個內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，以及對三角形的外角的理解，了解三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．