Question

25、觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出
（1）當(dāng)a=19時，求b、c的值；
（2）當(dāng)a=2n+1時，求b、c的值；
（3）用（2）的結(jié)論判斷15，111，112是否為一組勾股數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大的直角邊的差是1，根據(jù)此規(guī)律及勾股定理公式不難求得b，c的值．
（2）根據(jù)第一問發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．
（3）將第二問得出的結(jié)論代入第三問中看是否符合規(guī)律，符合則說明是一組勾股數(shù)，否則不是．

解答：解：（1）觀察得給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大直角邊的差是1，即c-b=1
∵a=19，a²+b²=c²，
∴19²+b²=（b+1）²，
∴b=180，
∴c=181；

（2）通過觀察知c-b=1，
∵（2n+1）²+b²=c²，
∴c²-b²=（2n+1）²，
（b+c）（c-b）=（2n+1）²，
∴2b+1=（2n+1）²，
∴b=2n²+2n，c=2n²+2n+1；

（3）由（2）知，2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1為一組勾股數(shù)，
當(dāng)n=7時，2n+1=15，112-111=1，
但2n²+2n=112≠111，
∴15，111，112不是一組勾股數(shù)．

點評：此題主要考查學(xué)生對勾股數(shù)及規(guī)律題的綜合運用能力．