Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑作半圓⊙O，交AC于點D．連結(jié)DB，過點D 作DE⊥BC，垂足為點E．
（1）求證：AD=CD；
（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）求證：DB²=AB•BE．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到∠ADB=90°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到AD=CD；
（2）連結(jié)OD，如圖，先證明OD為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得OD∥BC，由于DE⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到DE⊥OD，然后利用切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（3）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠DBE，則根據(jù)相似三角形的判定得到△ABD∽△DBE，利用相似的性質(zhì)得AB：BD=BD：BE，然后根據(jù)比例的性質(zhì)變形即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵BA=BC，
∴BD為AC上的中線，
∴AD=CD；
（2）解：直線DE與⊙O相切．理由如下：
連結(jié)OD，如圖，
∵AD=CD，
而AO=BO，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE為⊙O的切線；
（3）證明：∵BA=BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBE，
∵∠ADB=∠DEB=90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴AB：BD=BD：BE，
∴BD²=AB•BE．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可． 也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．