Question

【題目】已知：如圖，在菱形中，為邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，．

若，求的長(zhǎng)；

求證：．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CM=DM，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得CE=DE，然后求出CD的長(zhǎng)度，即為菱形的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)度；

（2）先利用“邊角邊”證明△CEM和△CFM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=MF，延長(zhǎng)AB交DF于點(diǎn)G，然后證明∠1=∠G，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AM=GM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=DF，最后結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證．

解：解：∵四邊形是菱形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

證明：∵為邊的中點(diǎn)，

∴，

∴，

在菱形中，平分，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

由圖形可知，，

∴．