Question

如圖①、②，在平面直角坐標(biāo)系中，一邊長為2的等邊三角形CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)獎(jiǎng)三角板CDE繞邊AB的中點(diǎn)G（G點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)），按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置。
（1）求C′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過三點(diǎn)O、A、C′的拋物線的解析式；
（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點(diǎn)作⊙G的切線與x軸相交于點(diǎn)F，求切線BF的解析式；
（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得S_△AMF：S_△OAB=16：3，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

圖1                                          圖2                                              圖3

Answer 1

解：（1）C′（3，）；
（2）∵拋物線過原點(diǎn)O（0，0），
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx
把A（2，0），C′（3，）代入，得
解得a=，b=-
∴拋物線解析式為y=x²-x；
（3）∵∠ABF=90°，∠BAF=60°，
∴∠AFB=30°
又AB=2
∴AF=4
∴OF=2
∴F（-2，0）
設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b
把B（1，），F(xiàn)（-2，0）帶入，
得
解得k=，b=
∴直線BF的解析式為y=x+；
（4）①當(dāng)M在x軸上方時(shí)，存在M（x，x²-x）
S_△AMF：S_△OAB=[×4×（x²-x）]：[×2×4]=16：3
得x²-2x-8=0，
解得x₁=4，x₂=-2
當(dāng)x₁=4時(shí)，y=×4²-×4=；
當(dāng)x₁=-2時(shí)，y=×（-2）²-×（-2）=
∴M₁（4，），M₂（-2，）
②當(dāng)M在x軸下方時(shí)，不存在，設(shè)點(diǎn)M（x，x²-x）
S_△AMF：S_△OAB=[-×4×（x²-x）]：[×2×4]=16：3
得x²-2x+8=0，b²-4ac＜0 無解
綜上所述，存在點(diǎn)的坐標(biāo)為M₁（4，），M₂（-2，）。