Question

已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對稱的拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過A、D(3，－2)、P三點，且點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上．

(1)求直線BC的解析式；

(2)求拋物線y＝ax²＋bx＋c的解析式及點P的坐標；

(3)設(shè)M是y軸上的一個動點，求PM＋CM的取值范圍．

Answer 1

解：(1)∵A(0，1)，B(0，3)，∴AB=2．

∵△ABC是等腰三角形，且點C在軸的正半軸上，

∴AC=AB=2．∴OC=.∴C(，0)．

設(shè)直線BC的解析式為，∴．

∴直線BC的解析式為．

(2)∵拋物線關(guān)于軸對稱，∴b=0．

又拋物線經(jīng)過A(0，1)，D(3，一2)兩點．

∴，解得，∴拋物線的解析式是．

在Rt △AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACD=30°．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°．

∴CA是∠BCO的角平分線．∴直線BC與軸關(guān)于直線AC對稱．

點P關(guān)于直線AC的對稱點在軸上，

則符合條件的點P就是直線BC與拋物線的交點．

∵點P在直線BC：上，故設(shè)點P的坐標是(，一+3)．

又點P(，一+3)在拋物線上．

∴一+3=，解得₁=，₂=2。

故所求點P的坐標是P₁(，0)，P₂(2，一3)．

(3)要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+CM的最小值．

I)當點P的坐標是(，0)時，點P與點C重合，故PM+CM=2CM．

顯然CM的最小值就是點C到軸的距離為．∵點M是軸上的動點，

∴PM+CM無最大值，∴PM+CM≥2 

Ⅱ)當點P的坐標是(2，一3)時，由點C關(guān)于軸的對稱點C’(一，0)，

故只要求PM+MC’的最小值，顯然線段PC’最短，易求得PC’=6．

∴PM+CM的最小值是6．同理PM+CM沒有最大值，

∴PM+CM的取值范圍是PM+CM≥6．

綜上所述，當點P的坐標是(，0)時，PM+CM≥2，

當點P的坐標是(2，一3)時，PM+CM≥6．