Question

如圖，已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，6），并與x軸交于點(diǎn)B（1，0）和點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）若D為線段AC上一點(diǎn)，且以D、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線y=1為直線l，將該二次函數(shù)的圖象在直線l下方的部分沿直線l翻折到直線l上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象．是否存在與新圖象恰有三個(gè)不同公共點(diǎn)且平行于AC的直線？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入給出的二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法確定兩個(gè)待定系數(shù)的解析式即可；
（2）首先確定線段BC、AC的長(zhǎng)，利用△DOC∽△ABC時(shí)和△ODC∽△ABC時(shí)兩種情況根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得有關(guān)線段的長(zhǎng)，從而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）首先確定直線AC的解析式y(tǒng)_AC=x+3，設(shè)所求直線的解析式為y=x+m．然后設(shè)直線l和設(shè)l下方的部分翻折后得到的拋物線（部分）為L(zhǎng)，將兩個(gè)解析式聯(lián)立后得到有關(guān)x的方程x²+4x+2m-7=0，再由由△=16-4（2m-7）=0求得m的值即可確定符合條件的直線的解析式．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B，
∴

9 2 +3b+c=6 1 2 +b+c=0

，
解得

b=1 c=- 3 2 .

∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

2

x²+x-

3

2

．
令y=0，得x₁=1，x₂=-3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0）．

（2）易得BC=4，AC=6

2

．
①當(dāng)△DOC∽△ABC時(shí)，有

DC

AC

=

OC

BC

，
即

DC

6 2

=

3

4

，
解得DC=

9

2

2

．
∵過(guò)D作DE⊥x軸于E，易得△CDE是等腰直角三角形．
∴CE=DE=

9

2

，OE=

3

2

，
∴D₁（

3

2

，

9

2

）．
②當(dāng)△ODC∽△ABC時(shí)，有

DC

BC

=

OC

AC

，
即

DC

4

=

3

6 2

，
解得DC=

2

．
同理可得 D₂（-2，1）．
綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

2

）或（-2，1）．

（3）由已知得y_AC=x+3，設(shè)所求直線的解析式為y=x+m．
①設(shè)直線l：y=1與拋物線的左交點(diǎn)為P，則過(guò)P且平行于AC的直線恰與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
令y=1，得

1

2

x²+x-

3

2

=1，
解得x₁=-1+

6

，x₂=-1-

6

．
∴P（-1-

6

，1）
把P代入y=x+m，得m=2+

6

．
∴y=x+2+

6

②設(shè)l下方的部分翻折后得到的拋物線（部分）為L(zhǎng)，則與AC平行且與L相切的直線也符合條件．
由題意，易得L的解析式為y=-

1

2

(x+1)2+4．
聯(lián)立

y=x+m y=- 1 2 (x+1)2+4

消去y整理得x²+4x+2m-7=0
∵由△=16-4（2m-7）=0，
得m=

11

2

．
∴y=x+

11

2

．
綜上所述，存在兩條符合條件的直線，分別是y=x+2+

6

和y=x+

11

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題目中涉及到了分類討論、數(shù)形結(jié)合及待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想，難度較大．