Question

如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB與∠E都是直角，點(diǎn)C在AD邊上，BC=

2

，把△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n度后恰好與△ADE重合，則n的值是

 

，點(diǎn)C經(jīng)過的路線長是

 

，線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形,弧長的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=

2

，AB=

2

BC=2，∠BAC=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CAE=∠BAD=45°，∠BAD等于旋轉(zhuǎn)角，即可得到n=45°；由于點(diǎn)C經(jīng)過的路線為以點(diǎn)A為圓心，半徑為

2

，圓心角為45°的弧，則可根據(jù)弧長公式計(jì)算點(diǎn)C經(jīng)過的路線長；以A為圓心，AC為半徑的弧交AB于F，如圖，易得S_扇形EAC=S_扇形EAC，S_△ABC=S_△ADE，所以線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積=S_扇形BAD-S_扇形FAC，然后根據(jù)扇形面積公式求解．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=

2

，AB=

2

BC=

2

×

2

=2，∠BAC=45°，
∵△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與△ADE重合，
∴∠CAE=∠BAD=45°，∠BAD等于旋轉(zhuǎn)角，
即n=45°；
∴點(diǎn)C經(jīng)過的路線長=

45•π• 2

180

=

2

4

π，
以A為圓心，AC為半徑的弧交AB于F，如圖，
∵∠FCA=∠EAC=45°，
∴S_扇形EAC=S_扇形EAC，
∵△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與△ADE重合，
∴S_△ABC=S_△ADE，
∴線段BC在上述旋轉(zhuǎn)過程中所掃過部分的面積=S_扇形BAD-S_扇形FAC=

45•π•22

360

-

45•π•( 2 )2

360

=

1

4

π．
故答案為45°，

2

4

π，

1

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形、弧長公式和扇形的面積公式．注意求不規(guī)則圖形的面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．