Question

【題目】已知，如圖1，D是△ABC的邊上一點，CN∥AB，DN交AC于點M，MA=MC．
（1）求證：四邊形ADCN是平行四邊形．
（2）如圖2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．請寫出圖中所有與線段AN相等的線段（線段AN除外）

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CN∥AB，

∴∠DAM=∠NCM，

在△ADM和△CNM中，

，

∴△AMD≌△CMN（ASA），

∴MD=MN，

∴四邊形ADCN是平行四邊形

（2）解：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，

∴∠MCD=∠MDC，

∴MC=MD，

∴AC=DN，

∴ADCN是矩形，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

∵∠ACB=90°，

∴CD=AD=BD= AB，

∴ADCN是正方形，

∴AN=AD=BD=CD=CN．

【解析】（1）由CN∥AB，MA=MC，易證得△AMD≌△CMN，則可得MD=MN，即可證得：四邊形ADCN是平行四邊形．（2）由∠AMD=2∠MCD，可證得四邊形ADCN是矩形，又由∠ACB=90°，AC=BC，可得四邊形ADCN是正方形，繼而求得答案．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．