【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一點,聯(lián)結AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖2,將△ABD繞A點逆時針旋轉90°,所得到的三角形為 ,線段CF、BD所在直線的位置關系為 ,線段CF、BD的數(shù)量關系為 ;
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結論是否仍然成立,并說明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點D在線段BC上,當∠ACB滿足什么條件時,CF⊥BC(點C、F不重合),并說明理由.
【答案】(1)①△ACF,垂直,相等;②仍成立,理由參見解析;(2)當∠ACB=45°時,CF⊥BD.理由參見解析.
【解析】試題分析:解題的關鍵是過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G,構造全等三角形.(1)①當點D在線段BC上時,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉的性質(zhì),即可得出CF=BD,BD⊥CF;②當點D在BC的延長線上時,①的結論仍成立.由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD,結合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD;
(2)當∠ACB=45°時,過點A作AG⊥AC交CB的延長線于點G,則∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由(1)①中的方法可得CF⊥BD.
解:(1)①如圖2所示,將△ABD繞A點逆時針旋轉90°,所得到△ACF,則
由旋轉的性質(zhì)可得:∠ACF=∠B,CF=BD,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°=∠ACF,
∴∠BCF=90°,即BD⊥CF;
故答案為:△ACF,垂直,相等;
②如圖3所示,當點D在BC的延長線上時,①中的結論仍成立.
證明:由正方形ADEF得,AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=90°
∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC,
又∵AB=AC,
∴△DAB≌△FAC(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=45°,
∴∠ACF=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,即 CF⊥BD;
(2)如圖4所示,當∠ACB=45°時,CF⊥BD.
理由:過點A作AG⊥AC交CB或CB的延長線于點G,則∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB=45°,
∴∠ACB=∠AGC,
∴AC=AG,
又∵∠DAG=∠FAC(同角的余角相等),AD=AF,
∴△GAD≌△CAF(SAS),
∴∠ACF=∠AGC=45°,
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.x+y是一次單項式
B.多項式3πa3+4a2﹣8的次數(shù)是4
C.x的系數(shù)和次數(shù)都是1
D.單項式4×104x2的系數(shù)是4
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【題目】如圖,點C是線段AB上一點,點M是線段AC的中點,點N是線段BC的中點.
(1)如果AB=20cm,AM=6cm,求NC的長;
(2)如果MN=6cm,求AB的長.
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【題目】如圖數(shù)軸的A,B,C三點所表示的數(shù)分別為a、b、c.若|a﹣b|=3,|b﹣c|=5,且原點O與A,B的距離分別為4、1,則關于O的位置,下列敘述何者正確?( )
A.在A的左邊
B.介于A,B之間
C.介于B,C之間
D.在C的右邊
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【題目】下列語句所描述的事件是隨機事件的是( )
A.經(jīng)過任意兩點畫一條直線B.任意畫一個五邊形,其外角和為360°
C.過平面內(nèi)任意三個點畫一個圓D.任意畫一個平行四邊形,是中心對稱圖形
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【題目】某物流公司的快遞車和貨車同時從甲地出發(fā),以各自的速度勻速向乙地行駛,快遞車到達乙地后卸完物品再另裝貨物,裝卸貨物共用45 min,立即按原路以另一速度勻速返回,直至與貨車相遇.已知貨車的速度為60 km/h,兩車之間的距離y(km)與貨車行駛時間x(h)之間的函數(shù)圖象如圖所示,有下列結論:①快遞車從甲地到乙地的速度為100 km/h;②甲、乙兩地之間的距離為120 km;③圖中點B的坐標為(3.75,75);④快遞車從乙地返回時的速度為90 km/h.其中正確的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①③
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【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,且BE=DF,點P是AF的中點,點Q是直線AC與EF的交點,連接PQ、PD.
(1)求證:AC垂直平分EF;
(2)試判斷△PDQ的形狀,并加以證明;
(3)如圖2,若將△CEF繞著點C旋轉180°,其余條件不變,則(2)中的結論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由.
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