【答案】
分析:(1)求證:不論a取何實(shí)數(shù)(a≠0)拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn),就是求兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組有兩個(gè)解,即利用代入法得到一個(gè)一元二次方程,可以根據(jù)根的判別式得到a的不等式,就可以求a的范圍;
(2)拋物線y=-
x
2+
x+3中令y=0,就可以求出與x軸的交點(diǎn),得到點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo).在直線l:y=
x-2(a≠0)中令y=0,解得x=2a,就可以求出Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P(x
,y
)(x
>0,y
>0),連AP、PB,使∠APB=90°,作PN⊥AB于N,易得△APN∽△PBN,得到PN
2=AN•BN,就可以得到關(guān)于AN,BN的方程,再根據(jù)P(x
,y
)在函數(shù)的圖象上,就可以得到關(guān)于AN、BN的方程,解這兩個(gè)方程組成的方程組,就可以求出P的坐標(biāo).
解答:(1)證明:由
消去y,得x
2-(
-1)x-10=0
∵△=(
-1)
2+40>0(2分)
∴不論a(a≠0)取何實(shí)數(shù),方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,
故不論a(a≠0)取何實(shí)數(shù),
拋物線C與直線l總有兩個(gè)交點(diǎn);(3分)
(2)解:A(-2,0),B(3,0),Q(2a,0)(每點(diǎn)坐標(biāo)(1分),共6分)
(寫成a>0或a<
只能給1分);(8分)
(3)解:一、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P(x
,y
)(x
>0,y
>0),連AP、PB,使∠APB=90°,
作PN⊥AB于N,則AN=x
+2,BN=3-x
,PN=y
∵∠APB=90°,PN⊥AB,則△APN∽△PBN.
∴PN
2=AN•BN,
則有y
2=(x
+2)(3-x
)
即y
2=-x
2+x
+6①(11分)
∵點(diǎn)P(x
,y
)在拋物線C上
∴
即2y
=-x
2+x
+6
由①、②可得y
2=2y
(y
>0)
∴y
=2(13分)
把y
=2代入②,得x
=2或-1,
∴x
>0
∴x
>2
把x
=2,y
=2代入
,
得
∴存在滿足條件的P點(diǎn),此時(shí)
.(14分)
二、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P(x
,y
),連PA、PB,使∠APB=90°
在Rt△APB中,斜邊的中點(diǎn)
,過點(diǎn)P作PN⊥AB,垂足為N,N的坐標(biāo)為(x
,0),連接PM,由Rt△PMN,得MN
2+PN
2=PM
2
∴(x
-
)
2+y
2=
由
整理,得
③-④得,y
2=2y
.
三、設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P(x
,y
),連PA、PB,使∠APB=90°
過點(diǎn)P作PN⊥AB,垂足為N,根據(jù)勾股定理得AP
2+PB
2=AB
2=AN
2+NP
2+NP
2+NB
2=25
即(x
+2)
2+y
2+y
2+(3-x
)
2=25
整理得x
2-x
-6+y
2=0
解方程組:
得:y
=0或y
=2.
所以x=3、-2、
,
所以a=
(舍去),或a=-1(舍去),a=
(負(fù)值舍去).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用韋達(dá)定理判斷兩個(gè)二元二次方程組成的解的個(gè)數(shù).并且利用了相似三角形的性質(zhì),對(duì)應(yīng)邊的比相等.