Question

【題目】把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時，點O運動到了點O1處（即點B處），點C運動到了點C1處，點B運動到了點B1處，又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°…，按上述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，頂點O經(jīng)過的總路程為　　，經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點O經(jīng)過的總路程為　　．

Answer 1

【答案】，

【解析】為了便于標注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉(zhuǎn)后向右稍微平移一點，作出前幾次旋轉(zhuǎn)后的圖形，點O的第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°為圓心角的扇形，第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，第4次旋轉(zhuǎn)點O沒有移動，旋轉(zhuǎn)后與最初正方形的放置相同．

①根據(jù)弧長公式列式進行計算即可得解；

②求出61次旋轉(zhuǎn)中有幾個4次，然后根據(jù)以上的結(jié)論進行計算即可求解．

解：如圖，為了便于標注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不防向右移動一點，

第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，路線長為=；第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°為圓心角的扇形，路線長為=；第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°為圓心角的扇形，路線長為=；第4次旋轉(zhuǎn)點O沒有移動，旋轉(zhuǎn)后與最初正方形的放置相同，因此4次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路線長為++=；∵61÷4=15…1，∴經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是4次旋轉(zhuǎn)路程的15倍加上第1次路線長，×15+=．

故答案分別是：；．