Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A（0，1），點B（3，0），點C（4，3）．

（1）判斷△ABC的形狀并說明理由；

（2）在線段OC的右側，以OC為邊作等腰直角△OCD，點D的坐標為　 　．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形，理由詳見解析；（2）（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）�。�

【解析】

（1）結論：△ABC是等腰直角三角形．添加輔助線，構造全等三角形解決問題；

（2）分三種情形畫出圖形即可解決問題．

解：（1）結論：△ABC是等腰直角三角形．

理由：作CE⊥x軸于E．

∵點A（0，1），點B（3，0），點C（4，3），

∴OA＝BE＝1，OB＝CE＝3，

∵∠AOB＝∠CEB＝90°，

∴△AOB≌△BEC（SAS），

∴BA＝BC，∠ABO＝∠BCE，

∵∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ABO+∠CBE＝90°，

∴∠ABC＝90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

（2）如圖，

由圖象可知：

①當OC為腰，點O為直角頂點時，即OC繞點O順時針旋轉90°，由（1）中正三角形全等的方法，可得D1坐標為（3，﹣4）；

②當OC為腰，點C為直角頂點時，即OC繞點C逆時針旋轉90°，方法同①，得D3坐標為（7，﹣1；

③當OC是等腰直角三角形的斜邊時，因為∠OCD1=∠COD3=45°，所以CD1與OD3的交點即為D2，也是CD1與OD3的中點，可得坐標為（，﹣）．

綜上：滿足條件的點D的坐標分別為（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）．

故答案為（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）．