Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當(dāng)一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．

（1）求AC、BC的長；

（2）設(shè)點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；

（4）當(dāng)x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使得△BCM周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（2）①當(dāng)點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，

∴，∴QH= x，y= BP•QH=（10﹣x） x=﹣x²+8x（0＜x≤3），......4分

②當(dāng)點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，

∵AP=x，

∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，

∴，即： ，解得：QH′=  （14﹣2x），

∴y=PB•QH′=（10﹣x）•（14﹣2x）=x²﹣x+42（3＜x＜7）；................6分

（3）∵AP=x，AQ=14﹣2x，

∵PQ⊥AB，∴△APQ∽△ACB，∴，即： 解得：x=，PQ=，∴PB=10﹣x=，∴ PB:PQ=BC:AC

∴當(dāng)點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；...........................9分

（4）存在．

理由：∵AQ=14﹣2x=14﹣10=4，AP=x=5，∵AC=8，AB=10，

∴PQ是△ABC的中位線，∴PQ∥CB，∴PQ⊥AC，

∴PQ是AC的垂直平分線，∴PC=AP=5，∴當(dāng)點M與P重合時，△BCM的周長最小，

∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16．∴△BCM的周長最小值為16．