Question

【題目】如圖，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向上移動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)P的直線l：y＝－x+b也隨之移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）當(dāng)t＝3時(shí)，求l的解析式；
（2）若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；
（3）直接寫(xiě)出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.

Answer 1

【答案】
（1）解：直線y=-x+b交y軸于點(diǎn)P（0，b），

由題意，得b＞0，t≥0，b=1+t．

當(dāng)t=3時(shí)，b=4，

故y=-x+4．

（2）解：當(dāng)直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)M（3，2）時(shí)，

2=-3+b，

解得：b=5，

5=1+t，

解得t=4．

當(dāng)直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)N（4，4）時(shí)，

4=-4+b，

解得：b=8，

8=1+t，

解得t=7．

故若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，t的取值范圍是：4＜t＜7．

（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥直線l，交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E、F為點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．

過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=3，MD=2．

已知∠MED=∠OEF=45°，則△MDE與△OEF均為等腰直角三角形，

∴DE=MD=2，OE=OF=1，

∴E（1，0），F(xiàn)（0，-1）．

∵M(jìn)（3，2），F(xiàn)（0，-1），

∴線段MF中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．

直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)（ ， ），則 =- +b，解得：b=2，

2=1+t，

解得t=1．

∵M(jìn)（3，2），E（1，0），

∴線段ME中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．

直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)（2，1），則1=-2+b，解得：b=3，

3=1+t，

解得t=2．

故點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)t=1時(shí)，落在y軸上，當(dāng)t=2時(shí)，落在x軸上．

【解析】（1）利用直線的平移規(guī)律，上加下減，可求出解析式;(2)l令直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)M、N，求出這兩個(gè)臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t值，t的范圍就是介于這兩個(gè)值之間；（3）坐標(biāo)軸包括x、y軸，分兩類(lèi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，求出t值.