Question

已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A（0，1），B（0，3），第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，D（3，-2）．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并判斷點(diǎn)C是否在拋物線上；
（3）設(shè)點(diǎn)P在（2）中的拋物線上，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸的正半軸上，
∴AC=AB=2，
∴OC==．
∴C（，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
∴k+3=0，
∴k=-．
∴直線BC的解析式為y=-x+3；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴b=0．
又∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，1），D（3，-2），兩點(diǎn)．
∴解得
∴拋物線的解析式是y=-x²+1．
∵C（，0），
∴當(dāng)x=時(shí)，y=0，
∴點(diǎn)C在拋物線上；

（3）在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，
∵OB=3，OC=，
∴∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分線．
∴直線BC與x軸關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)．
點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上，則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-x²+1的交點(diǎn)．
Q點(diǎn)P在直線BC：y=-x+3上，
故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，-x+3）．
又∵點(diǎn)P（x，-x+3）在拋物線y=-x²+1上，
∴-+3=-x²+1．解得x₁=，x₂=2．
故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁（，0），P₂（，-3）．
分析：（1）先根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理得出OC的長(zhǎng)，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可；
（2）由于拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以b=0．再由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，1），D（3，-2），兩點(diǎn)可得出拋物線的解析式，把C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入即可檢驗(yàn)出C點(diǎn)是否在拋物線上；
（3）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ACO及∠BCO的度數(shù)，故可得出CA是∠BCO的角平分線，即直線BC與x軸關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)．因?yàn)辄c(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上，則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線y=-x²+1的交點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識(shí)，難度適中．