Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，∠A=47°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以x厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上以y厘米/秒的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．
（1）若x=y=3，經(jīng)過1秒后，此時(shí)△BPD與△CQP是否全等？請說明理由．
（2）若x≠y，當(dāng)x=3，y為何值時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？請說明理由．
（3）是否存在點(diǎn)P，使△BPD為等腰三角形？若存在，求此時(shí)∠BPD的度數(shù)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）先求得BP=CQ=3，PC=BD=5，然后根據(jù)等邊對等角求得∠B=∠C，最后根據(jù)SAS即可證明；
（2）因?yàn)閤≠y，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4，根據(jù)全等得出CQ=BD=5，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和CQ的長即可求得Q的運(yùn)動(dòng)速度；
（3）有三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求得∠B的度數(shù)．需要分類討論：∠B=∠BPD和∠B=∠BDP兩種情況．

解答：解：（1）①∵t=1秒，
∴BP=CQ=3厘米
∵AB=10厘米，D為AB中點(diǎn)，
∴BD=5（厘米）
又∵PC=BC-BP=8-3=5（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，

BP=CQ ∠B=∠C BD=PC

，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）∵x≠y，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

BP

3

=

4

3

（秒），
此時(shí)y=

CQ

t

=

5

4 3

=

15

4

（厘米/秒）．

（3）存在點(diǎn)P，使△BPD為等腰三角形．理由如下：
∵△ABC中，AB=AC，∠A=47°，
∴∠B=∠C=

180°-47°

2

=66.5°．
①當(dāng)∠B=∠BPD=66.5°時(shí)，△BPD為等腰三角形
②當(dāng)∠B=∠BDP=66.5°時(shí)，△BPD為等腰三角形，此時(shí)∠BPD=180°-2×66.5°=47°．
綜上所述，∠BPD的度數(shù)是66.5°或47°時(shí)，△BPD為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，解題的根據(jù)是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．