Question

如圖，BC是半圓O的直徑，點(diǎn)A在半圓O上，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)．若AB=2，tan∠ACB=，請(qǐng)問(wèn)：分別以點(diǎn)A、E、D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形AED存在嗎？請(qǐng)逐一說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

以點(diǎn)E為頂點(diǎn)時(shí)存在等腰直角三角形AED．

【解析】

試題分析：先運(yùn)用三角函數(shù)求出AB，AD，CD之間的關(guān)系，再分三種情況說(shuō)明①利用假設(shè)存在以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形與已知得出矛盾，②以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形存在，運(yùn)用三角形全等證明．③利用假設(shè)存在以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形與已知得出矛盾．

試題解析：∵BC為半⊙O的直徑

∴∠BAC=90°

∴tan∠ACB=

∵tan∠ACB=，AB=2

∴AC=4

∵D為AC中點(diǎn)

∴AD=CD=AC=2

∴AB=AD=CD=2

①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在

若存在，則∠CAE=90°

∵∠BAC=90°

∴B、A、E成一條直線

∴B、A、E不可能在同一個(gè)圓上，即點(diǎn)E不在⊙O上

因此以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在

②如圖1，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的等腰三角形存在，

∵BC為半⊙O的直徑

∴∠BEC=∠4+∠5=90°

∵∠AED=∠3+∠5=90°

∴∠3=∠4，

又∵∠1=∠2，AB=DC，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（AAS）

∴AE=DE，

∴△AED為等腰直角三角形．

③以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在

如圖2，連接EC

假設(shè)點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形存在

則ED=AD=2，∠DAE=∠AED=45°，

∵ED是AC的垂直平分線，

∴AE=EC，

∴∠CED=∠AED=45°，

∴∠AEC=90°，

∴AC為直徑

∵AC＜BC，不為直徑

∴假設(shè)不成立

∴以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰三角形不存在．

綜上所述，只有當(dāng)以點(diǎn)E為頂點(diǎn)時(shí)存在等腰直角三角形AED．

考點(diǎn)：圓的綜合題．