如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C,景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D,經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向8km處,位于景點B的正北方向,還位于景點C的北偏西75°方向上,已知AB=5km.
(1)景區(qū)管委會準備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路,不考慮其它因素,求出這條公路的長;(結(jié)果精確到0.1km)
(2)求景點C與景點D之間的距離.(結(jié)果精確到1km)
(參考數(shù)據(jù):=1.73,=2.24,sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0.60,tan53°=1.33,tan37°=0.75,sin38°=cos52°=0.62,sin52°=cos38°=0.79,tan38°=0.78,tan52°=1.28,sin75°=0.97,cos75°=0.26,tan75°=3.73.)

【答案】分析:過點D作DE⊥AC于點E,過點A作AF⊥DB,交DB的延長線于點F,求DE的問題就可以轉(zhuǎn)化為求∠DBE的度數(shù)或三角函數(shù)值的問題.Rt△DCE中根據(jù)三角函數(shù)就可以求出CD的長.
解答:解:(1)如圖,過點D作DE⊥AC于點E,
過點A作AF⊥DB,交DB的延長線于點F,
在Rt△DAF中,∠ADF=30°,
∴AF=AD=×8=4,
∴DF=,
在Rt△ABF中BF==3,
∴BD=DF-BF=4-3,
sin∠ABF=,
在Rt△DBE中,sin∠DBE=,
∵∠ABF=∠DBE,
∴sin∠DBE=,
∴DE=BD•sin∠DBE=×(4-3)=≈3.1(km),
∴景點D向公路a修建的這條公路的長約是3.1km;

(2)由題意可知∠CDB=75°,
由(1)可知sin∠DBE==0.8,所以∠DBE=53°,
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°,
在Rt△DCE中,sin∠DCE=,
∴DC=≈4(km),
∴景點C與景點D之間的距離約為4km.
點評:本題主要考查解直角三角形的條件,已知直角三角形的一個銳角和一邊長,或已知兩邊長就可以求出另外的邊和角.
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(1)景區(qū)管委會準備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路,不考慮其它因素,求出這條公路的長;(結(jié)果精確到0.1km)
(2)求景點C與景點D之間的距離.(結(jié)果精確到1km)
(參考數(shù)據(jù):
3
=1.73,
5
=2.24,sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0.60,tan53°=1.33,tan37°=0.75,sin38°=cos52°=0.62,sin52°=cos38°=0.79,tan38°=0.78,tan52°=1.28,sin75°=0.97,cos75°=0.26,tan75°=3.73.)

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如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個景點.景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點.經(jīng)測量景點位于景點的北偏東方向處,位于景點的正北方向,還位于景點的北偏西方向上.已知

(1)景區(qū)管委會準備由景點向公路修建一條距離最短的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長.(結(jié)果精確到0.1km)

(2)求景點與景點之間的距離.(結(jié)果精確到1km)

(參考數(shù)據(jù):,

,,

,.)

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(1)景區(qū)管委會準備由景點D向公路a修建一條距離最短的公路,不考慮其它因素,求出這條公路的長;(結(jié)果精確到0.1km)
(2)求景點C與景點D之間的距離.(結(jié)果精確到1km)
(參考數(shù)據(jù):=1.73,=2.24,sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0.60,tan53°=1.33,tan37°=0.75,sin38°=cos52°=0.62,sin52°=cos38°=0.79,tan38°=0.78,tan52°=1.28,sin75°=0.97,cos75°=0.26,tan75°=3.73.)

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